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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{《常微分方程》第五章：高阶微分方程}
\author{五六七}
%\date{2025年10月8日}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

% 封面页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% 目录页
\begin{frame}{目录}
  \tableofcontents
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \begin{frame}{目录}

% \begin{enumerate}
% \item[5.1.]   几个例子：\\ {\color{red}求单摆的周期和相图。求解悬链线方程。求解二体运动方程。}%&&
% \item[5.2.]   $n$ 维线性空间中的微分方程：\\ {\color{red}以单摆为例，将高阶微分方程化为一阶微分方程组。}%&&1
% \item[5.3.]   解对初值和参数的连续依赖性：\\ {\color{red}以单摆为例，解释解对微分方程的初值和参数的连续依赖性。}%&&
% \item[5.4.]   解对初值和参数的连续可微性：\\ {\color{red}以单摆为例，解释解对微分方程的初值和参数的连续可微性。}

% \end{enumerate}

% \end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{5.1. 自治的微分方程、几个例子}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{5.1. 自治的微分方程}

\vspace{-0.3cm}

{\color{red}问：什么是自治的微分方程？} 

答：如果微分方程中不明显包含自变量，那么这个微分方程称为是自治的。例如：
$$F\left(y, \frac{dy}{dx}, \cdots, \frac{d^ny}{dx^n}\right)=0.$$

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{3cm}|p{3cm}|}\hline 
微分方程 				&是否自治？   \\ \hline
$y'+y/x=x^3$ 			&不是 \\ \hline 
$y'=1+y^2$ 			&是 \\ \hline 
$y''+yy'=1$ 			&是 \\ \hline 
\end{tabular}
\end{center}

\newpage 

{\color{red}问：将自治的二阶微分方程 %$F(y, \frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2})=0$ 
$y''+yy'=1$
化为一阶的微分方程。
}

答：
\begin{enumerate}
\item  这里 $y'=\frac{dy}{dx}$. 
\item  设 $z=y'$, 则 $y''=\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}=z\frac{dz}{dy}$. 
\item  原方程可以化为 $$z\frac{dz}{dy} + yz=1.$$ 
\item  这可以看作是自变量为 $y$, 未知函数为 $z$ 的一阶微分方程。
\end{enumerate}


\newpage 

{\color{red}问题：将下述自治的三阶微分方程化为二阶的微分方程：
$$F\left( y, \frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^3y}{dx^3}\right) = 0. $$
}

解答：设 $z=\frac{dy}{dx}$, 并将自变量-应变量由 $(x,y)$ 转变为 $(y,z)$. 则有 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\frac{dy}{dx} &=& z, \\ 
\frac{d^2y}{dx^2} &=& \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}=z\frac{dz}{dy}, \\ 
\frac{d^3y}{dx^3} &=& \frac{d}{dx}\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right) = \frac{d}{dx}\left( z\frac{dz}{dy} \right) 
 = \frac{d}{dy} \left( z\frac{dz}{dy} \right) \frac{dy}{dx}=z\left(\frac{dz}{dy}\right)^2 +z^2\frac{d^2z}{dy^2}.  \\ 
 \end{array}\right. 
\end{eqnarray*}

于是原三阶微分方程化为二阶微分方程。


\newpage 

{\color{red}例子：求解微分方程 $\frac{d^2x}{dt^2}=f(x).$ } 

答：

这是一个二阶的自治的微分方程。

设 $v=\frac{dx}{dt}$, 可以得到 $v$ 关于 $x$ 的一阶微分方程 $v\frac{dv}{dx}=f(x)$. 

用分离变量法可得 $vdv = f(x)dx$. 

两边积分可得 $\frac{1}{2}v^2 = F(x) - \frac{1}{2}C_1$, 其中 $F'(x)=f(x)$, $C_1$ 是任意常数。

从 $\frac{dv}{dt} = \pm \sqrt{2F(x)-C_1}$ 分离变量可得 $\frac{dv}{\pm\sqrt{2F(x)-C_1}} = dt$. 

两边积分可得 $ G(x,C_1) = \int \frac{dv}{\pm\sqrt{2F(x)-C_1}} = t+C_2$, 其中 $C_2$ 是任意常数。

由此解得 $x=u(t,C_1,C_2)$. 


\newpage 

{\color{red}例子：求解微分方程 $\frac{d^2x}{dt^2} = -x$. 记 $v=\frac{dx}{dt}$, 画出 $(x,v)$ 的相图。} 

答：

\begin{enumerate}
\item  如 $x$ 是位移，则 $v$ 就是速度。
\item  相图是指相平面（即 $(x,v)$ 平面）上的轨线（即积分曲线）的分布图。
\item  原方程化为 $\frac{dv}{dt}=-x$. 从而我们有一阶线性微分方程组：
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x \\ v\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ v\end{bmatrix}.
\end{eqnarray*}

\item  两个微分方程相除可以消去 $dt$, 得到 $\frac{dv}{dx}=\frac{-x}{v}$, 即 $vdv+xdx=0$, 即 $d(v^2+x^2)=0$. 求得通积分为 $v^2+x^2=C$. 
相图是一族同心圆。

\end{enumerate}


\newpage 

{\color{red}例子：求解微分方程 $\frac{d^2x}{dt^2} = x$. 记 $v=\frac{dx}{dt}$, 画出 $(x,v)$ 的相图。}

答：

\begin{enumerate}

\item  原方程化为 $\frac{dv}{dt}=x$. 从而我们有一阶线性微分方程组：
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x \\ v\end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ v\end{bmatrix}.
\end{eqnarray*}

\item  两个微分方程相除可以消去 $dt$, 得到 $\frac{dv}{dx}=\frac{x}{v}$, 即 $vdv-xdx=0$, 即 $d(v^2-x^2)=0$. 求得通积分为 $v^2 - x^2=C$. 
相图是一族双曲线。
\end{enumerate}


\newpage 

{\color{red}问题：画出二阶自治微分方程 $\frac{d^2x}{dt^2}=f(x)$ 的相图。} 

答：
\begin{enumerate}
\item  相图的横坐标为 $x$, 纵坐标为 $v=\frac{dx}{dt}$. 
\item  原方程化为 $v\frac{dv}{dx}=f(x)$. 解得 $v=\pm\sqrt{2F(x)-C}$. 这里 $F'(x)=f(x)$. 
\item  根据 $F(x)$ 的图像，画出 $v=v(x)$ 的图像。
\end{enumerate}


从 $(x, 2F(x))$ 平面到 $(x,v=dx/dt)$ 平面

\begin{center}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.8\textwidth]{ding-book-figure-5-3.png}
\end{center}


\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{5.2. 高维线性空间中的微分方程}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{5.2. 高维线性空间中的微分方程}

\vspace{-0.3cm}

{\color{red}问：将三阶微分方程 $y'''=F(x,y,y',y'')$ 写成三阶标准微分方程组。} 

答：记变量 $y_1=y$, $y_2=y'$, $y_3=y''$, 则有 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
y_1' &=& y_2, \\
y_2' &=& y_3, \\
y_3' &=& F(x,y_1,y_2,y_3).
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}


\newpage 

{\color{red}例子5.2.1：求下述微分方程组（其中的求导均是相对于自变量 $x$ 而言）的阶数，并将其写成标准微分方程组：
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{lcl}
u\,'' &=& F(x,u,u\,',v,w,w\,',w\,''), \\
v\,' &=& G(x,u,u\,',v,w,w\,',w\,''), \\
w\,''' &=& H(x,u,u\,',v,w,w\,',w\,'').
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
}

答：引进6个未知函数：$$y_1=u, y_2=u\,', y_3=v, y_4=w, y_5=w\,', y_6=w\,''. $$
得到标准的微分方程组为
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
y_1' &=& y_2, \\ 
y_2' &=& F(x, y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, y_6), \\ 
y_3' &=& G(x, y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, y_6), \\ 
y_4' &=& y_5, \\ 
y_5' &=& y_6, \\ 
y_6' &=& H(x, y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, y_6). 
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}



\newpage 

{\color{red}问：写出微分方程的标准形式。} 

答：设 $\vec{y}=(y_1,\cdots,y_n)$ 是 $n$ 个未知函数组成的向量，$\vec{f} = (f_1,\cdots,f_n)$ 是向量值的多元函数。则标准形式的微分方程为
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
%\frac{dy_1}{dx} &=& f_1(x,y_1,y_2,\cdots,y_n), \\ 
y_1' &=& f_1(x,y_1,y_2,\cdots,y_n), \\ 
%\frac{dy_2}{dx} &=& f_2(x,y_1,y_2,\cdots,y_n), \\ 
y_2' &=& f_2(x,y_1,y_2,\cdots,y_n), \\ 
\cdots && \cdots \\ 
%\frac{dy_n}{dx} &=& f_n(x,y_1,y_2,\cdots,y_n). 
y_n' &=& f_n(x,y_1,y_2,\cdots,y_n). 
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}
写成向量形式为 $$\frac{d\vec{y}}{dx} = \vec{f}(x,\vec{y}). $$


\newpage 

{\color{red}问：写出微分方程组的皮卡定理。} 

答：设有标准形式的微分方程组的初值问题 
$$\frac{d\vec{y}}{dx} = \vec{f}(x,\vec{y}),\,\, \vec{y}_0 = \vec{y}_0. $$
设 $\vec{f}(x,\vec{y})$ 在矩形区域 $R: |x-x_0|\le a, |\vec{y}-\vec{y}_0|\le b$ 上是连续的，
并设 $\vec{f}(x,\vec{y})$ 关于 $\vec{y}$ 满足利普希茨条件，即存在 $L>0$ 使得
$$|\vec{f}(x,\vec{y}) - \vec{f}(x,\vec{z})|\le L|\vec{y}-\vec{z}|$$
对矩形区域 $R$ 中的任意两点 $(x,\vec{y}), (x,\vec{z})$ 都成立。
则存在 $h>0$, 使得该初值问题在 $x\in [x_0-h, x_0+h]$ 存在唯一解。


\newpage 

{\color{red}问：写出标准形式的线性微分方程组。} 

答：设 $\vec{y} = (y_1,y_2,\cdots,y_n)$ 是 $n$ 个未知函数，$A(x)=(a_{ij}(x))$ 是自变量 $x$ 的 $n\times n$ 矩阵值函数，$\vec{e}(x)=(e_1(x),e_2(x),\cdots,e_n(x))$ 是自变量 $x$ 的向量值函数。则标准形式的线性微分方程为
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
y_1' &=& a_{11}(x)y_1 + a_{12}(x)y_2 + \cdots + a_{1n}(x)y_n + e_1(x), \\ 
y_2' &=& a_{21}(x)y_1 + a_{22}(x)y_2 + \cdots + a_{2n}(x)y_n + e_2(x), \\ 
\cdots && \cdots \\ 
y_n' &=& a_{n1}(x)y_1 + a_{n2}(x)y_2 + \cdots + a_{nn}(x)y_n + e_n(x). 
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}
写成向量形式为 $\frac{d\vec{y}}{dx} = \vec{y}A(x) + \vec{e}(x)$. 这是采用行向量的写法。 

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{5.3. 解对初值和参数的连续依赖性}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{5.3. 解对初值和参数的连续依赖性}

\vspace{-0.3cm}

{\color{red}例子1：讨论线性单摆方程的解函数对初值和参数的连续依赖性。 }

答：

线性单摆方程与初值条件为 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d^2x}{dt^2} + a^2x = 0, \\ 
 x(t_0)=x_0,\,\, x\,'(t_0)=v_0. 
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}

其解函数为 $$x = x_0 \cos a(t-t_0) + \frac{v_0}{a} \sin a(t-t_0). $$

该解函数对初值 $(t_0,x_0,v_0)$ 和参数 $a$ 都是连续的。


\newpage 

定理：设 $n$ 维向量值函数 $\vec{f}(x,\vec{y},\vec{\lambda})$ 在区域 
$ G : |x|\le a, \,\, |\vec{y}|\le b,\,\, |\vec{\lambda} - \vec{\lambda}_0| \le c $
上是连续的，而且对 $\vec{y}$ 满足利普希茨条件，即存在常数 $L>0$ 使得 
$$ |\vec{f}(x,\vec{y},\vec{\lambda}) - \vec{f}(x,\vec{z}, \vec{\lambda}) | \le L |\vec{y} - \vec{z}|. $$
设正数 $M$ 是函数 $|\vec{f}(x,\vec{y},\vec{\lambda})|$ 在区域 $G$ 的一个上界，设 $h = \min\{a,\frac{b}{M}\}.$ \\ 
则微分方程的初值问题 $$\frac{d\vec{y}}{dx} = \vec{f}(x,\vec{y}),\,\, \vec{y}(0) = \vec{0}$$
的解 $\vec{y} = \vec{\varphi} (x,\vec{\lambda})$ 在区域 $D: |x|\le h, |\vec{\lambda} - \vec{\lambda}_0|\le c$
上是连续的。


\newpage 

定理5.1的证明

将初值问题转化为积分方程 $$ \vec{y}(x) = \int_0^x \vec{f} (x,\vec{y}(x), \vec{\lambda} ) dx. $$

定义皮卡序列： $\vec{\varphi}_0 (x,\vec{\lambda}) = \vec{0}$, 
\begin{eqnarray*}
%\left\{\begin{array}{rcl}
\vec{\varphi}_{k+1} (x,\vec{\lambda}) = \int_0^x \vec{f} (x,\vec{\varphi}_k(x,\vec{\lambda}),\vec{\lambda} ) dx, \,\,\, k=0,1,2,\cdots.  \\ 
%\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}

证明每个 $\vec{\varphi}(x,\vec{\lambda})$ 关于 $(x,\vec{\lambda})\in D$ 是连续的。

证明下述不等式，然后导出函数列 $\{\vec{\varphi}_{k+1} (x,\vec{\lambda}) \}$ 是一致收敛的，
$$ |\vec{\varphi}_{k+1} (x,\vec{\lambda}) - \vec{\varphi}_{k} (x,\vec{\lambda}) | 
\le \frac{M(L|x|)^{k+1}}{L(k+1)!}. $$


\newpage 

定理5.2.（解对初值的连续依赖性）：设向量值函数 $\vec{f}(x,\vec{y})$ 在某开区域内是连续的，而且对 $\vec{y}$ 满足局部利普希茨条件。设 $\vec{y}=\vec{\xi}(x)$ 是微分方程 $\frac{d\vec{y}}{dx} = \vec{f}(x,\vec{y})$ 的一个解。设它的存在区间为 $J$. 在区间 $J$ 内任取有界闭区间 $[a,b]$. 
则存在常数 $\delta>0$, 使得对任意初值 $a\le x_0\le b, |\vec{y}_0-\vec{\xi}(x_0) | \le \delta,$
柯西问题 $$\frac{d\vec{y}}{dx} = \vec{f}(x,\vec{y}),\,\, \vec{y}(x_0) = \vec{y}_0$$
的解 $\vec{y}=\vec{\varphi}(x; x_0, \vec{y}_0)$ 也至少在区间 $[a,b]$ 上存在，并且在下述闭区域上是连续的：
$$ D_\delta: a\le x\le b, \,\, a\le x_0\le b, \,\, |\vec{y}_0-\vec{\xi}(x_0)|\le \delta $$

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{5.4. 解对参数的连续可微性}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{5.4. 解对参数的连续可微性}

\vspace{-0.3cm}

%{\color{red}问题：研究微分方程的初值问题 $$\frac{d\vec{y}}{dx} = \vec{f}(x,\vec{y}, \vec{\lambda} ),\,\, \vec{y}(0) = \vec{0} $$ 的解 $ \vec{y} = \vec{\varphi} (x, \vec{\lambda} )$ 对参数 $\vec{\lambda}$ 的连续可微性。}

定理5.3（解对参数的连续可微性）：设函数 $\vec{f}(x,\vec{y}, \vec{\lambda} )$ 在区域 
$$G = \big\{ (x,\vec{y},\vec{\lambda}) \,:\, |x|\le a, |\vec{y}|\le b, |\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0|\le c \big\}$$ 上连续，而且对 $\vec{y}$ 和 $\vec{\lambda}$ 有连续的偏导数，则微分方程初值问题
$$\frac{d\vec{y}}{dx} = \vec{f}(x,\vec{y}, \vec{\lambda} ),\,\, \vec{y}(0) = \vec{0} $$
的解 $ \vec{y} = \vec{\varphi} (x, \vec{\lambda} )$ 在区域 $D=\big\{(x,\vec{\lambda})\,:\, |x|\le h, |\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0|\le c \big\}$ 上是连续可微的，其中 $h=\min\{a,\frac{b}{M}\}$, $M$ 是 $\vec{f}(x,\vec{y}, \vec{\lambda} )$ 在区域 $G$ 的上界。

\newpage 

推论（解对初值的连续可微性）：设向量值函数 $\vec{f}(x,\vec{y} )$ 在区域 $$R = \{(x,\vec{y} \,:\, |x-x_0|\le a, |\vec{y}-\vec{y}_0|\le b\}$$ 上连续，而且对 $\vec{y}$ 有连续的偏导数。则微分方程初值问题
$$\frac{d\vec{y}}{dx} = \vec{f}(x,\vec{y} ),\,\, \vec{y}(x_0) = \vec{\eta} $$
的解 $ \vec{y} = \vec{\varphi} (x, \vec{\eta} )$ 在区域
$D=\big\{(x,\vec{\lambda})\,:\, |x-x_0|\le \frac{h}{2}, |\vec{\eta}-\vec{y}_0|\le \frac{b}{2} \big\}$ 上是连续可微的。

\newpage 

{\color{red}例子1. 考虑初值问题 $$\frac{dy}{dx} + p(x)y=q(x),\,\, y(x_0)=y_0,$$
其中 $p(x)$ 和 $q(x)$ 是连续函数。设解函数为 $y=\varphi(x;x_0,y_0)$. 求这个解函数关于初值 $x_0$ 与 $y_0$ 的偏导数。
}

\newpage 

{\color{red}例子2. 设函数 $y=\varphi(x;x_0,y_0,\lambda)$ 是初值问题 $$\frac{dy}{dx}=\sin(\lambda xy),\,\, y(x_0)=y_0$$ 的解。求这个解函数关于初值 $x_0$ 与 $y_0$ 和参数 $\lambda$ 的偏导数。}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{5.5. 习题}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{5.5. 习题}

\vspace{-0.3cm}

习题5-1

导出单摆的微分方程并求解。

求解单摆的三次近似方程 $$\frac{d^2x}{dt^2} + a^2\left(x - \frac{x^3}{6}\right) = 0. $$

（选做）导出悬链线的微分方程并求解。


\newpage 

习题5-2


将单摆方程写成标准形式的微分方程组。

（选做）将悬链线方程写成标准形式的微分方程组。



\newpage 

习题5-3

以线性单摆方程
$$\frac{d^2x}{dt^2} + a^2x = 0, \,\,\, x(t_0)=x_0,\,\, x'(t_0)=v_0 $$
为例，说明微分方程初值问题的解对初值和参数的连续依赖性。



\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

